Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Нерівність $\frac{{f(x)}}{{g(x)}} > 0$ рівносильна двом системам 

$\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0,\\g(x) > 0\end{array} \right.\quad abo\quad \left\{ \begin{array}{l}f(x) < 0,\\g(x) < 0.\end{array} \right.$

     Нерівність $\frac{{f(x)}}{{g(x)}} < 0$ рівносильна двом системам 

$\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0,\\g(x) < 0\end{array} \right.\quad abo\quad \left\{ \begin{array}{l}f(x) < 0,\\g(x) < 0.\end{array} \right.$

     Нерівність $\frac{{f(x)}}{{g(x)}} \ge 0$ рівносильна двом системам 

$\left\{ \begin{array}{l}f(x) \ge 0,\\g(x) > 0\end{array} \right.\quad abo\quad \left\{ \begin{array}{l}f(x) \le 0,\\g(x) < 0.\end{array} \right.$

     Нерівність $\frac{{f(x)}}{{g(x)}} \le 0$ рівносильна двом системам 

$\left\{ \begin{array}{l}f(x) \ge 0,\\g(x) < 0\end{array} \right.\quad abo\quad \left\{ \begin{array}{l}f(x) \le 0,\\g(x) > 0.\end{array} \right.$

    Приклад 3. Розв’яжіть нерівність $\frac{{x - 2}}{{x - 7}} > 0$.

Розв’язання

$\frac{{x - 2}}{{x - 7}} > 0;\;\left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0,\\x - 7 > 0\end{array} \right.\;abo\;\left\{ \begin{array}{l}x - 2 < 0,\\x - 7 < 0;\end{array} \right.\;todi\;\left\{ \begin{array}{l}x > 2,\\x > 7\end{array} \right.\;abo\;\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\x < 7.\end{array} \right.$

     Звідси $x \in (7; + \infty )$ або $x \in ( - \infty ;2)$.

     Отже. $x \in ( - \infty ;2) \cup (7; + \infty )$.

     Відповідь: $( - \infty ;2) \cup (7; + \infty )$.

Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів

     Щоб розв’язати нерівність f(x)>0 (f(x)<0, f(x)≥0, f(x)≤0), де $f(x) = \frac{{(x - {a_1})(x - {a_2})...(x - {a_m})}}{{(x - {a_{m + 1}})(x - {a_{m + 2}})...(x - {a_{m + n}})}}$, треба:

1. зобразити числа ${a_1},{a_2},...,{a_n}$  на числовій прямій (ці числа розташовані в порядку зростання і поділяють числову пряму на декілька проміжків, на яких функція f(x) зберігає свій знак, тобто якщо ${a_i},{a_k}$  - сусідні точки, то для $x \in ({a_i};{a_k})$  функція зберігає знак);

2. визначити знаки функції f(x) на кожному з проміжків;

3. записати відповідь, ураховуючи знак нерівності, даної в умові.

    Приклад 4. Розв’яжіть нерівність $\frac{{(x + 4)(x - 1)}}{{(x + 2)(x - 3)}} < 0$.

Розв’язання

     Позначимо на числовій прямій точки: х=-4, х=-2, х=1, х=3 та знайдемо знак функції $f(x) = \frac{{(x + 4)(x - 1)}}{{(x + 2)(x - 3)}}$ на кожному проміжку.

     Відповідь: $( - 4; - 2) \cup (1;3)$.