Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебрагічних

     Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебрагічного.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть рівняння ${\sin ^2}x + 4\cos x = 2,75$.

Розв’язування

     Замінивши ${\sin ^2}x$ на $1 - {\cos ^2}x$, маємо:

$1 - {\cos ^2}x + 4\cos x - 2,75 = 0$,

$- {\cos ^2}x + 4\cos x - 1,75 = 0$;

${\cos ^2}x - 4\cos x + 1,75 = 0$.

     Нехай cos x=t, тоді ${t^2} - 4t + 1,75 = 0$. Звідси ${t_1} = \frac{1}{2},{t_2} = \frac{7}{2} > 1$.

     Оскільки ${t_2} > 1$, то $\cos x = \frac{7}{2}$ - розв’язків немає.

     Оскільки ${t_1} = \frac{1}{2}$, то $\cos x = \frac{1}{2},x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in Z$.

     Відповідь: $\pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in Z$.

     Приклад 2. Розв’яжіть рівняння tg x+3ctg x=4.

Розв’язання

$tg\,x + 3ctg\,x = 4;\quad tg\,x + \frac{3}{{tg\,x}} = 4$.

     Нехай tg x=t, тоді $t + \frac{3}{t} = 4,\;{t^2} - 4t + 3 = 0,\;{t_1} = 1,\;{t_2} = 3$.

     Маємо:

1)               $tg\,x = 1,\;x = \frac{\pi }{4} + \pi n,n \in Z$;

2)               $tg\,x = 3,\;x = arctg3 + \pi n,n \in Z$ .

     Відповідь: $\frac{\pi }{4} + \pi n,arctg3 + \pi n,n \in Z$.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f(x)g(x)=0

     Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 3. Розв’яжіть рівняння $1 + \cos x - 2\cos \frac{x}{2} = 0$.

Розв’язання

     Урахувавши, що $1 + \cos x = 2{\cos ^2}\frac{x}{2}$, маємо

$2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} = 0;\;2\cos \frac{x}{2}(\cos \frac{x}{2} - 1) = 0$.

     Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю. Тому:

1)               $\cos \frac{x}{2} = 0;\;\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;x = \pi + 2\pi n,n \in Z$;

2)               $\cos \frac{x}{2} = 1;\;\frac{x}{2} = 2\pi n,n \in Z;\;x = 4\pi n,n \in Z$.

     Відповідь: $\pi + 2\pi n,4\pi n,n \in Z$.

     Приклад 4. Розв’яжіть рівняння sin 2x-sin x=0.

Розв’язання

$\sin 2x - \sin x = 0;\;2\sin \frac{{2x - x}}{2}\cos \frac{{2x + x}}{2} = 0;\;2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{{3x}}{2} = 0$.

1)               $\sin \frac{x}{2} = 0;\;\frac{x}{2} = \pi n,n \in Z;\;x = 2\pi n,n \in Z$;

2)               $\cos \frac{{3x}}{2} = 0;\;\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3},n \in Z$.

     Відповідь: $2\pi n$ і $\frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3},n \in Z$ .