Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Розглянемо рівняння виду asin x+bcos x=0 (однорідне рівняння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю.

     Значення х  при cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді й sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x.

     Маємо:

$\frac{{a\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{b\cos x}}{{\cos x}} = 0;\;a\,tg\,x + b = 0;\;tg\,x = - \frac{b}{a};\;tg\,x = - arctg\frac{b}{a} + \pi n,n \in Z$.

     Рівняння виду $a{\sin ^2}x + b\cos x\sin x + c{\cos ^2}x = 0$ називається однорідним рівнянням 2-го степеня.

     Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на ${\cos ^2}x$ (або на ${\sin ^2}x$). (У даному рівнянні ${\cos ^2}x \ne 0$, бо у протилежному випадку ${\sin ^2}x$ теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю.) Тоді

$\frac{{a{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{b\cos x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{c{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0$.

     Розв’язавши отримане рівняння, одержимо корені даного рівняння.

     Рівняння виду ${a_n}{\sin ^n}x + {a_{n - 1}}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_1}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_0}{\cos ^n}x = 0$ називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.

     Якщо жоден із коефіцієнтів ${a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0}$ не дорівнює нулю, то розділивши обидві частини рівняння почленно на ${\cos ^n}x$, одержимо рівняння n-го степеня  відносно tg x.

     Якщо хоча б один із коефіцієнтів ${a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0}$ дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на ${\cos ^n}x$, слід довести, що ${\cos ^n}x \ne 0$, тобто $\cos x \ne 0$.

     Приклад 5. Розв’яжіть рівняння ${\cos ^2}x - 2\cos x\sin x = 0$.

Розв’язання

     Ділити обидві частини на ${\cos ^2}x$ не можна, бо ${\cos ^2}x = 0$ є розв’язком даного рівняння. Це рівняння можна розв’язати у такі способи.

     І спосіб (винесення множника)

${\cos ^2}x - 2\cos x\sin x = 0;\;\cos x(\cos x - 2\sin x) = 0$.

     Звідси cos x=0 або cos x-2sin x=0

1)           $\cos x = 0;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z$;

2)          $\cos x - 2\sin x = 0;\;\frac{{\cos x}}{{\cos x}} - \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} = 0;\;1 - 2tg\,x = 0;\;tg\,x = \frac{1}{2};\;$,

$x = arctg\frac{1}{2} + \pi n,n \in Z$.

     Відповідь: $\frac{\pi }{2} + \pi n;arctg\frac{1}{2} + \pi n,n \in Z$.

     ІІ спосіб. Розділимо обидві частини на ${\sin ^2}x$, оскільки $\sin x \ne 0$ у даному рівнянні, бо у протилежному випадку $\cos x = 0$, що неможливо.

$\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{2\cos x\sin x}}{{{{\sin }^{^2}}x}} = 0;\;ct{g^2}x - 2ctg\;x = 0;\;ctg\;x(ctg\;x - 2) = 0$.

     Звідси ctg x=0 або ctg x-2=0.

1)               $ctg\;x = 0;\quad x = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z$;

2)               $ctg\;x - 2 = 0;\quad x = arcctg2 + \pi n,n \in Z$.

     Відповідь: $\frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;arcctg2 + \pi n,n \in Z$.