Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Завдання. Точка рухається прямолінійно за законом $s(t) = 5{t^2} + t + 3$ (s – шлях у метрах, t – час у секундах). Знайдіть швидкість точки: а) у довільний момент t₀; б) у момент t=2 с.

Розв’язання

     а) Нехай значення аргументу t₀ одержало приріст Δt, тоді t₁=t₀+Δt.

     Знайдемо відповідний приріст шляху:

$\begin{array}{l}\Delta s = s({t_0} + \Delta t) - s({t_0}) = 5{({t_0} + \Delta t)^2} + ({t_0} + \Delta t) + 3 - (5t_0^2 + {t_0} + 3) = \\ = 5t_0^2 + 10{t_0}\Delta t + 5\Delta {t^2} + {t_0} + \Delta t + 3 - 5t_0^2 - {t_0} - 3 = 10{t_0}\Delta t + 5\Delta {t^2} + \Delta t.\end{array}$

     Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (середню швидкість):

$\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{10{t_0}\Delta t + 5\Delta {t^2} + \Delta t}}{{\Delta t}} = \frac{{\Delta t(10{t_0} + 1 + 5\Delta t)}}{{\Delta t}} = 10{t_0} + 1 + 5\Delta t$.

     Знайдемо границю відношення приросту шляху до приросту часу (границю середньої швидкості):

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} 10{t_0} + 1 + 5\Delta t = 10{t_0} + 1$.

     Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент t₀ дорівнює 10t₀+1.

     Таким чином, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) у довільний момент t обчислюється за формулою v(t)=10t+1.

     б) Якщо t=2 с, то маємо

v(2)=10·2+1=21 (м/с).

Відповідь: а) 10t₀+1; б) 21 (м/с).