Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Знайдіть похідну функції $f(x) = 3{x^2} + 2$ у точці х₀.

Розв’язання

     Знайдемо приріст функції:

$\begin{array}{l}\Delta f = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = 3{({x_0} + \Delta x)^2} + 2 - 3x_0^2 - 2 = \\ = 3x_0^2 + 6{x_0}\Delta x + 3\Delta {x^2} + 2 - 3x_0^2 - 2 = 6{x_0}\Delta x + 3\Delta {x^2} = \Delta x(6{x_0} + 3\Delta x)\end{array}$.

     Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

$\frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x(6{x_0} + 3\Delta x)}}{{\Delta x}} = 6{x_0} + 3\Delta x$.

     Знайдемо похідну даної функції в точці х₀:

$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 6{x_0} + 3\Delta x = 6{x_0} + 3 \cdot 0 = 6{x_0}$.

Відповідь: 6х₀.

     Завдання. Знайдіть похідну функції $f(x) = kx + b$ (k і b - сталі) у точці х₀.

Розв’язання

     Знайдемо приріст функції:

$\begin{array}{l}\Delta f = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = k({x_0} + \Delta x) + b - k{x_0} - b = \\ = k{x_0} + k\Delta x - k{x_0} = k\Delta x\end{array}$.

     Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

$\frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \frac{{k\Delta x}}{{\Delta x}} = k$.

     Отже,

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} k = k$,

або $(kx + b)' = k$.

Відповідь: k.

     Завдання. Точка рухається прямолінійно за законом $s(t) = 5{t^2} + t + 3$ (s – шлях у метрах, t – час у секундах). Знайдіть швидкість точки: а) у довільний момент t₀; б) у момент t=2 с.

Розв’язання

     а) Нехай значення аргументу t₀ одержало приріст Δt, тоді t₁=t₀+Δt.

     Знайдемо відповідний приріст шляху:

$\begin{array}{l}\Delta s = s({t_0} + \Delta t) - s({t_0}) = 5{({t_0} + \Delta t)^2} + ({t_0} + \Delta t) + 3 - (5t_0^2 + {t_0} + 3) = \\ = 5t_0^2 + 10{t_0}\Delta t + 5\Delta {t^2} + {t_0} + \Delta t + 3 - 5t_0^2 - {t_0} - 3 = 10{t_0}\Delta t + 5\Delta {t^2} + \Delta t.\end{array}$

     Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (середню швидкість):

$\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{10{t_0}\Delta t + 5\Delta {t^2} + \Delta t}}{{\Delta t}} = \frac{{\Delta t(10{t_0} + 1 + 5\Delta t)}}{{\Delta t}} = 10{t_0} + 1 + 5\Delta t$.

     Знайдемо границю відношення приросту шляху до приросту часу (границю середньої швидкості):

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} 10{t_0} + 1 + 5\Delta t = 10{t_0} + 1$.

     Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент t₀ дорівнює 10t₀+1.

     Таким чином, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) у довільний момент t обчислюється за формулою v(t)=10t+1.

     б) Якщо t=2 с, то маємо

v(2)=10·2+1=21 (м/с).

Відповідь: а) 10t₀+1; б) 21 (м/с).

     Завдання. Знайдіть похідну функції $y = {(3{x^3} - 1)^5}$.

Розв’язання

     $y = {(3{x^3} - 1)^5}$ - складена функція, у якої $y = {u^5}$, де $u = 3{x^3} - 1$, тоді

$\begin{array}{l}y{'_x} = y{'_u} \cdot u{'_x} = ({u^5})' \cdot (3{x^3} - 1)' = 5{u^4} \cdot 9{x^2} = 5{(3{x^3} - 1)^4} \cdot 9{x^2} = \\ = 45{x^2}{(3{x^3} - 1)^4}.\end{array}$

     При обчисленні похідної складеної функції введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³-1:

$y' = ({(3{x^3} - 1)^5})' = 5{(3{x^3} - 1)^4} \cdot (3{x^3} - 1)' = 5{(3{x^3} - 1)^4} \cdot 9{x^2} = 45{x^2}{(3{x^3} - 1)^4}.$.

     Завдання. Знайдіть похідні функцій:

а) $y = \sqrt {{x^2} + 2x}$;

б) $y = \sin (3x + 5)$;

в) $y = {\cos ^2}x$;

г) $y = \cos {x^2}$.

Розв’язання

а) $y' = (\sqrt {{x^2} + 2x} )' = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 2x} }} \cdot ({x^2} + 2x)' = \frac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x} }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}$;

б) $y' = (\sin (3x + 5))' = \cos (3x + 5) \cdot (3x + 5)' = 3\cos (3x + 5)$;

в) $\begin{array}{l}y' = ({\cos ^2}x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot ( - \sin x) = - 2\cos x\sin x = \\ = - \sin 2x;\end{array}$

г) $y' = (\cos {x^2})' = - \sin {x^2} \cdot ({x^2})' = - 2x\sin {x^2}$.