Показникова функція. Показникові рівняння, нерівності та їх системи

2. Показникові рівняння

     Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.

     Наприклад: рівняння {2^x} + 3 = 0;\;{3^{x + 1}} - {3^x} - 1 = 0 є показниковими.

      Найпростішим показниковими рівнянням є рівняння {a^x} = b,a > 0,a \ne 1.

     Оскільки множина значень функції y = {a^x} - множина додатних чисел, то рівняння {a^x} = b:

1)               має один корінь, якщо b>0;

2)               не має коренів, якщо b≤0.

    Для того, щоб розв’язати рівняння {a^x} = b,a > 0,a \ne 1,\;b > 0, треба b подати у вигляді b = {a^c}, тобі будемо мати {a^x} = {a^c}, звідси х=с.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть рівняння .{5^x} = 125

Розв’язання

     Оскільки {5^x} = 125, а 125 = {5^3}, то маємо {5^x} = {5^3}, звідси х=3.

     Відповідь: 3.

     Приклад 2. Розв’яжіть рівняння {(\frac{1}{7})^x} = 49.

Розв’язання

     Оскільки 49 = {7^2} = {(\frac{1}{7})^{ - 2}}, то маємо {(\frac{1}{7})^x} = {(\frac{1}{7})^{ - 2}}, звідси х=-2.

     Відповідь: -2.

     Приклад 3. Розв’яжіть рівняння {15^{{x^2} - 5x + 6}} = 1.

Розв’язання

     Оскільки {15^0} = 1, то {15^{{x^2} - 5x + 6}} = {15^0},\;{x^2} - 5x + 6 = 0, звідси х1=2, х2=3.

     Відповідь: 2; 3.