Показникова функція. Показникові рівняння, нерівності та їх системи

5. Показникові нерівності

     Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей {a^x} > {a^b}\;({a^x} \ge {a^b}) або {a^x} < {a^b}\;({a^x} \le {a^b}). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть нерівність {3^x} < 27.

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді {3^x} = {3^3}. Оскільки 3>1, то функція y = {3^t} є зростаючою. Отже, при х<3 виконується нерівність {3^x} < 27.

Відповідь: (-∞;3).

     Приклад 2. Розв’яжіть нерівність {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > \sqrt 8 .

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {2^{\frac{3}{2}}};\;{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}. Оскільки y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} – спадна функція, то x < - \frac{3}{2}.

Відповідь: ( - \infty ; - \frac{3}{2}).