Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Знайдіть первісні для функції $f(x) = x + \cos x$.

Розв’язання

     Оскільки для х одна з первісних є $\frac{{{x^2}}}{2}$, а для cos x однією з первісних є sin x, то однією з первісних функції x+cos x є функція $\frac{{{x^2}}}{2} + \sin x$, отже $F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C$.

Відповідь: $F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C$.

     Завдання. Знайдіть $\int {({e^x} + \sin x - \frac{1}{x})dx}$.

Розв’язання

$\int {({e^x} + \sin x - \frac{1}{x})dx} = \int {{e^x}dx} + \int {\sin xdx} - \int {\frac{1}{x}dx} = {e^x} - \cos x - \ln |x| + C$.

Відповідь: ${e^x} - \cos x - \ln |x| + C$.

     Завдання. Знайдіть первісні для функції $f(x) = 5{e^x} + 7\sin x - 3{x^2}$.

Розв’язання

     Оскільки однією з первісних для функції ${e^x}$ є функція ${e^x}$, то однією з первісних для функції $5{e^x}$ є $5{e^x}$; оскільки однією з первісних для функції sin x є –cos x; первісною $3{x^2}$ є $\frac{{{x^3}}}{3}$. Отже, $F(x) = 5{e^x} - 7\cos x + {x^3} + C$ – первісні для функції $f(x) = 5{e^x} + 7\sin x - 3{x^2}$.

Відповідь: $F(x) = 5{e^x} - 7\cos x + {x^3} + C$.

     Завдання. Знайдіть $\int {(1 + 3{e^x} - 4\cos x)dx}$.

Розв’язання

$\begin{array}{l}\int {(1 + 3{e^x} - 4\cos x)dx} = \int {1dx} + \int {3{e^x}dx} - \int {4\cos xdx} = \int {dx} + 3\int {{e^x}dx} - 4\int {\cos xdx} = \\ = x + 3{e^x} - 4\sin x + C\end{array}$

Відповідь: $x + 3{e^x} - 4\sin x + C$.

     Завдання. Знайдіть первісні для функцій:

а) $f(x) = {(7 - 3x)^5}$;

б) $f(x) = {e^{2x - 1}}$.

Розв’язання

     а) оскільки первісною для функції ${x^5}$ є функція $\frac{{{x^6}}}{6}$, то згідно з правилом 3 шукані первісні

$F(x) = - \frac{1}{3}\frac{{{{(7 - 3x)}^6}}}{6} + C = - \frac{{{{(7 - 3x)}^6}}}{{18}} + C$;

     б) оскільки однією з первісних для функції ${e^x}$ є функція ${e^x}$, то згідно з правилом 3 маємо

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x - 1}} + C$.

Відповідь: а) $F(x) = - \frac{{{{(7 - 3x)}^6}}}{{18}} + C$; б) $F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x - 1}} + C$.

     Завдання. Знайдіть значення $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{3x - 1}}}}}$.

Розв’язання

$\begin{array}{l}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{3x - 1}}}}} = \int {{{(3x - 1)}^{ - \frac{1}{3}}}} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{{(3x - 1)}^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {(3x - 1)^{\frac{2}{3}}} + C = \\ = \frac{1}{2}\sqrt[3]{{{{(3x - 1)}^2}}} + C\end{array}$.

Відповідь: $\frac{1}{2}\sqrt[3]{{{{(3x - 1)}^2}}} + C$.

     Завдання. Обчисліть $\int\limits_{ - 1}^2 {{x^2}dx}$.

Розв’язання

     Оскільки для ${{x^2}}$ однією з первісних є $\frac{{{x^3}}}{3}$, то

$\int\limits_{ - 1}^2 {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = 3$.

Відповідь: 3.

     Завдання. Обчисліть .

Розв’язання

$\int\limits_0^1 {(x - 1)dx} = (\frac{{{x^2}}}{2} - x)|_0^1 = (\frac{{{1^2}}}{2} - 1) - (\frac{{{0^2}}}{2} - 0) = \frac{1}{2} - 1 - 0 = - \frac{1}{2}$.

Відповідь: $- \frac{1}{2}$.

     Завдання. Обчисліть:

а) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(8x - \sin x)dx}$;

б) $\int\limits_1^2 {{{(x + 2)}^2}dx}$.

Розв’язання

а) $\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(8x - \sin x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {8xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = 8 \cdot \frac{{{x^2}}}{2}|_0^{\frac{\pi }{2}} + \cos x|_0^{\frac{\pi }{2}} = 4 \cdot (\frac{{{\pi ^2}}}{4} - 0) + \\ + (\cos \frac{\pi }{2} - \cos 0) = {\pi ^2} - 1;\end{array}$

б) $\int\limits_1^2 {{{(x + 2)}^2}dx} = \frac{{{{(x + 2)}^3}}}{3}|_1^2 = \frac{{{{(2 + 2)}^3}}}{3} - \frac{{{{(1 + 2)}^3}}}{3} = \frac{{64 - 27}}{3} = \frac{{37}}{3} = 12\frac{1}{3}$.

Відповідь: а) ${\pi ^2} - 1$; б) $12\frac{1}{3}$.