Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Нерівність, лівою частиною якої є квадратний тричлен $a{x^2} + bx + c$, де а≠0; b, с – дані числа, а правою – нуль, називають квадратною.

    Наприклад: нерівності ${x^2} - 5x + 3 < 0;\;{x^2} - 3x + 2 \le 0;\;2{x^2} - 3x + 2 \ge 0;\;3{x^2} - 2x + 1 > 0$ є квадратними, або нерівностями другого степеня з однією змінною.

     Розв’язати нерівність другого степеня з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає. Під час розв’язування квадратної нерівності знаходять проміжки, у яких відповідна квадратична функція набуває додатних, від’ємних, недодатних, невід’ємних значень.

   Приклад 1. Розв’яжіть нерівність ${x^2} + 2x - 48 < 0$.

Розв’язання

     Графік функції $y = {x^2} + 2x - 48$ - парабола, вітки якої напрямлені вгору. Знайдемо нулі функції, для цього розв’яжемо рівняння . Корені цього рівняння дорівнюють

${x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 + 192} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 14}}{2};\;{x_1} = 6;\;{x_2} = - 8$.

     Отже, парабола перетинає вісь х у двох точка, абсциси яких дорівнюють -8 і 6.

     На рис. видно, що функція набуває від’ємних значень, коли х належить проміжку  (-8;6). Значить, розв’язком нерівності ${x^2} + 2x - 48 < 0$ є числовий проміжок (-8;6).

     Відповідь: (-8;6).

     На рис. видно, що:

1. розв’язками нерівності ${x^2} + 2x - 48 \le 0$ є всі числа проміжка [-8;6];

2. розв’язками нерівності ${x^2} + 2x - 48 > 0$ є всі числа проміжків (-∞;-8) або (6;+∞), тобто об’єднання проміжків $( - \infty ; - 8) \cup (6; + \infty )$;

3. розв’язками  нерівності ${x^2} + 2x - 48 \ge 0$ є об’єднання проміжків $( - \infty ; - 8] \cup [6; + \infty )$.

    Приклад 2. Розв’яжіть нерівність $25{x^2} + 30x + 9 > 0$.

Розв’язання

     Розглянемо функцію $y = 25{x^2} + 30x + 9 = {(5x + 3)^2}$. Її графік – парабола, вітки якої напрямлені догори.

     Розв’яжемо рівняння ${(5x + 3)^2} = 0$, звідси х=-0,6. Рівняння має єдиний корінь. Отже, парабола дотикається осі ОХ. На рис. видно, що функція набуває додатних значень при будь-яких х, крім -0,6.

     Відповідь: $( - \infty ; - 0,6) \cup ( - 0,6; + \infty )$.

     Із рис. випливає також, що:

1. розв’язком нерівності $25{x^2} + 30x + 9 \ge 0$ є всі дійсні числа;

2. нерівність $25{x^2} + 30x + 9 \le 0$ має один розв’язок: х=-0,6;

3. нерівність $25{x^2} + 30x + 9 < 0$ розв’язків не має.

    Приклад 3. Розв’яжіть нерівність $- {x^2} + x - 1 < 0$.

Розв’язання

     Графік функції $y = - {x^2} + x - 1$ - парабола, вітки якої напрямлені вниз. Рівняння  дійсних коренів не має, тому парабола не перетинає вісь ОХ. Отже, вона розташована нижче осі ОХ.

     Це означає, що значення квадратичної функції при всіх х – від’ємні, тобто нерівність $- {x^2} + x - 1 < 0$ виконується при всіх дійсних числах (-∞;+∞).

     Відповідь: (-∞;+∞).

     Із рис. видно також, що:

1. розв’язками нерівності $- {x^2} + x - 1 \le 0$ є множина всіх дійсних чисел R;

2. $- {x^2} + x - 1 > 0$ та $- {x^2} + x - 1 \ge 0$ розв’язків не мають.

     Із розглянутих прикладів можна зробити висновок, що для розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків треба:

1. визначити напрям віток параболи за значенням першого коефіцієнта квадратичної функції $y = a{x^2} + bx + c$ (якщо а>0, то вітки параболи напрямлені догори, якщо а<0, то вниз);

2. знайти дійсні корені квадратного рівняння $a{x^2} + bx + c = 0$ або встановити, що їх немає;

3. схематично побудувати графік квадратичної функції, використовуючи точки перетину (точки дотику) із віссю ОХ, якщо вони є;

4. за графіком визначити проміжки, на яких функція набуває значень, при яких виконується задана нерівність.

     Квадратні нерівності можна розв’язувати методом інтервалів.