Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Як відомо, функція y=sin x зростає на проміжку $[ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ і набуває всіх значень від -1 до 1, тобто кожного свого значення набуває в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin x=a, |a|≤1, на проміжку $[ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ має єдиний корінь, який називають арксинусом числа а і позначають arcsin a.

     Арксинусом числа а називають сема число з проміжку $[ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$, синус якого дорівнює а.

    Приклад 1. Знайдемо arcsin $\frac{1}{2}$.

arcsin $\frac{1}{2}$= $\frac{\pi }{2}$,бо $\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$.

    Приклад 2. Знайдемо arcsin $( - \frac{{\sqrt 2 }}{2})$.

arcsin $( - \frac{{\sqrt 2 }}{2})$= -$\frac{\pi }{4}$, бо $\sin ( - \frac{\pi }{4}) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

     Графік функції y=arcsin x одержимо із графіка функції y=sin x, $x \in [ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$, перетворенням симетрії відносно прямої у=х.

Основні властивості функції y=arcsin x:

1. D(y)=[-1;1].

2. Е(у)= $[ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$.

3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна): arcsin (-x)=-arcsin x.

4. Функція зростаюча х₁>х₂, то arcsin x₁>arcsin x₂.

5. у=0, якщо х=0.

6. ${y_{\max }} = y(1) = \frac{\pi }{2};{y_{\min }} = y( - 1) = - \frac{\pi }{2}$.

    Зауваження

     При знаходженні області визначення треба пам’ятати якщо функція має вигляд y=arcsin (f(x)), то слід вважати -1≤f(x)≤1 (арксинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).

    Наприклад: якщо $y = \arcsin (3x - 1)$, то $- 1 \le 3x - 1 \le 1$, тобто $0 \le x \le \frac{2}{3}$.