Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Функція y=tg x на проміжку $( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ зростає і набуває всіх значень із R, тому для будь якого а рівняння tg x=a має єдиний розв’язок із проміжку $( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, який називають арктангенсом числа а і позначають arctg a.

     Арктангенсом числа а називають таке число з проміжку $( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, тангенс якого дорівнює а.

    Приклад 1. arctg ${\sqrt 3 }$= $\frac{\pi }{2}$, бо $tg\frac{\pi }{3} = \sqrt 3$ і $\frac{\pi }{3} \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.

    Приклад 2. arctg (-1)= -$\frac{\pi }{4}$, бо $tg( - \frac{\pi }{4}) = - 1$ і $- \frac{\pi }{4} \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.

     Графік функції y=arctg x одержимо із графіка функції y=tg x, $x \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, перетворенням симетрії відносно прямої у=х.

     Основні властивості функції y=arctg x:

1. D(y)=R.

2. Е(у)= $( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.

3. Графік симетричний відносно початку координат , функція непарна: arctg (-x)= -arctg x.

4. Функція зростаюча. Якщо х₁<х₂, то arctg x₁<arctg x₂.

5. у=0, якщо х=0.

6. у>0, якщо х>0; у<0, якщо х<0.

    Зауваження

     При знаходженні області визначення треба пам’ятати якщо функція має вигляд y=tg (f(x)), то слід вважати $f(x) \ne \frac{\pi }{2} + \pi n.n \in Z$ (тангенс чисел $\frac{\pi }{2} + \pi n.n \in Z$, не визначений).

    Наприклад: якщо $y = tg(x - \frac{\pi }{4})$, то $x - \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z$, тобто $x \ne \frac{{3\pi }}{4} + \pi n,n \in Z$.