Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Рівняння ${a^x} = b$, де $a > 0,\;a \ne 1,\;b > 0$, має єдиний корінь. Його називають логарифмом числа b з основою а і позначають ${\log _a}b$.

     Наприклад: коренем рівняння ${2^x} = 8$ є число 3, тобто ${\log _2}8 = 3$.

     Логарифмом додатного числа b за основою а, де а>0, а≠1, називають показник степеня, до якого треба піднести число а, щоб одержати число b.

     Наприклад: ${\log _2}8 = 3$, оскільки ${2^3} = 8$;

${\log _2}\frac{1}{4} = - 2$, оскільки ${2^{ - 2}} = \frac{1}{4}$;

${\log _7}1 = 0$, оскільки ${7^0} = 1$.

     Розглянемо приклади використання формул 3 – 7. Обчислимо:

1)               ${\log _6}18 + {\log _6}2 = {\log _6}(18 \cdot 2) = {\log _6}36 = 2$;

2)               ${\log _{12}}48 - {\log _{12}}4 = {\log _{12}}\frac{{48}}{{12}} = {\log _{12}}12 = 1$;

3)               ${\log _3}\sqrt 3 = {\log _3}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}{\log _3}3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$;

4)               ${\log _{125}}5 = {\log _{{5^3}}}5 = \frac{1}{3}{\log _5}5 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$;

5)               $\frac{{{{\log }_3}16}}{{{{\log }_3}4}} = {\log _4}16 = {\log _4}{4^2} = 2{\log _4}4 = 2 \cdot 1 = 2$.

     Формулу 7 називають формулою переходу до логарифмів з іншою основою.

     За допомогою формули 7 можна знаходити логарифми з довільною основою а, маючи таблиці логарифмів, складених для якої-небудь основи b. Найбільш уживаними є таблиці десяткових і натуральних логарифмів.

     Десятковими логарифмами називають логарифми за основою 10, позначають lg.

     Наприклад: $\lg 100 = 2;\;\lg 0,0001 = - 4$.

     Натуральними логарифмами називають логарифми за основою е (число е – ірраціональне, е≈2,718…), позначають ln.

     Наприклад: $\ln e = 1;\;\ln {e^2} = 2;\;\ln \frac{1}{e} = - 1$.

     Дію знаходження логарифма числа (виразу) називають логарифмуванням.

     Приклад 1. Прологарифмувати вираз $y = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^3}}}$.

Розв’язання

$\lg y = \lg \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^3}}} = \lg ({a^2}{b^2}) - \lg {c^3} = \lg {a^2} + \lg {b^2} - \lg {c^3} = 2\lg a + 2\lg b + 3\lg c$.

     Дію, обернену до логарифмування, називають потенціюванням.

     Потенціювання – знаходження числа (виразу) за його логарифмом.

     Приклад 2. Пропотенціювати вираз $\lg x = \frac{1}{2}\lg 5a - 3\lg b + 4\lg c$.

Розв’язання

$\lg x = \frac{1}{2}\lg 5a - 3\lg b + 4\lg c;\;\lg x = \lg {(5a)^{\frac{1}{2}}} - \lg {b^3} + \lg {c^4}$;

$\lg x = \lg \sqrt {5a} - \lg {b^3} + \lg {c^4};\;\lg x = \lg (\sqrt {5a} \cdot {c^4}) - \lg {b^3}$;

$\lg x = \lg \frac{{{c^4}\sqrt {5a} }}{{{b^3}}};\;x = \frac{{{c^4}\sqrt {5a} }}{{{b^3}}}$.