Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${x^{\lg x}} = 100x$.

Розв’язання

     Прологарифмуємо обидві частини рівності (х>0) і одержимо

$\lg {x^{\lg x}} = \lg (100x);\;\lg x\lg x = \lg 100 + \lg x;\;{\lg ^2}x - \lg x - 2 = 0$.

     Замінимо $\lg x = y$. Рівняння набуває вигляду:

${y^2} - y - 2 = 0;\;{y_1} = 2;\;{y_2} = - 1$.

     Тоді:

1) $\lg x = 2;\;x = {10^2};\;x = 100$;

2) $\lg x = - 1;\;x = {10^{ - 1}};\;x = 0,1$.

     Перевірка:

1)               ${x^{\lg x}} = {100^{\lg 100}} = {100^2};100x = 100 \cdot 100 = {100^2}$. Отже, х=100 – корінь;

2)               ${x^{\lg x}} = {0,1^{\lg 0,1}} = {0,1^{ - 1}} = \frac{1}{{0,1}};100x = 100 \cdot 0,1 = 10$. Отже, х=0,1 – корінь.

Відповідь: 100; 0,1.