Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Завдання. Розв’яжіть нерівність ${\log _{x - 3}}(x - 1) < 2$.

Розв’язання

     Нехай $y = {\log _{x - 3}}(x - 1) - 2$ і у<0. Область визначення функції знаходимо із системи:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0,\\x - 3 > 0,\\x - 3 \ne 1;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\x > 3,\\x \ne 4.\end{array} \right.$

     Отже, $x \in (3;4) \cup (4; + \infty )$.

     Знайдемо нулі функції:

$\begin{array}{l}{\log _{x - 3}}(x - 1) = 2;\;x - 1 = {(x - 3)^2};\;x - 1 = {x^2} - 6x + 9;\;{x^2} - 7x + 10;\;\\x = 5,x = 2.\end{array}$

     Значення х=2 не входить в область визначення функції. Зробивши перевірку, переконуємося, що х=5 – нуль функції.

     Розіб’ємо область визначення функції на проміжки точкою 5 та знайдемо знаки функції на утворених проміжках.

     Отже, $x \in (3;4) \cup (5; + \infty )$.

Відповідь: $(3;4) \cup (5; + \infty )$.