Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Похідна суми (різниці) двох функцій, кожна з яких має похідну, дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій:

$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$.

     Похідна добутку двох функцій, кожна з яких має похідну, дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції:

$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.

     Похідну частки частки двох функцій f(x) і g(x), кожна з яких має похідну і g(x)≠0, знаходять за формулою

$(\frac{{f(x)}}{{g(x)}})' = \frac{{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{{g^2}(x)}}$.

     Сталий множник можна виносити за знак похідної:

$(cf(x))' = cf'(x)$.

     Наведені формули називають правилами диференціювання.

     Приклад 1. Нехай треба обчислити за заданим значенням х значення функції у, яку задано формулою $y = \sqrt {9 - {x^2}}$.

     Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення $u = g(x) = 9 - {x^2}$, а потім за значенням u обчислити $y = f(u) = \sqrt u$.

     Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. говорять, що у є складеною функцією з функцій g і f, і пишуть y=f(g(x)).

     Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції y=f(g(x)) у довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

     Приклад 2. Розглянемо функцію $y = \sqrt {\cos x}$. Вона є складеною з функцій u=cos x, $y = \sqrt u$, де cos х – внутрішня функція, $\sqrt u$ – зовнішня функція.

     Приклад 3. Запишіть складені функції f(g(x)) і g(f(x)), якщо f(x)=sin x, $g(x) = {x^2}$.

Розв’язання

$f(g(x)) = \sin g(x) = \sin {x^2}$;

$g(f(x)) = {(f(x))^2} = {(\sin x)^2} = {\sin ^2}x$.

     Складена функція y=f(g(x)) має проміжну змінну u=g(x). Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінні взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні позначення:

$y{'_x} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - похідна функції у по аргументу х;

$y{'_u} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta u \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta u}}$ - похідна функції у по аргументу u;

$y{'_x} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}}$ - похідна функції u по аргументу х.

     Теорема

     Похідну складеної функції y=f(g(x)) знаходять за формулою

$y{'_x} = y{'_u} \cdot u{'_x}$,

де u=g(x), або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.