Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Розглянемо функцію y=f(x), яка визначена в деякому околі точки х₀ і має похідну в цій точці.

     Якщо х₀ – точка екстремуму диференційованої функції y=f(x), то $f'({x_0}) = 0$ .

     Це твердження називають теоремою Ферма на честь французького математика П’єра Ферма (1601 – 1665).

     Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: у точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт $f'(x)$ дорівнює нулю.

     Наприклад: функція $f(x) = {x^2} - 2$ має в точці х₀=0 мінімум, її похідна $f'(0) = 0$.

     Функція $f(x) = 1 - {x^2}$ має максимум в точці х₀=0, $f'(x) = - 2x,\;f'(0) = 0$.

     Слід зазначити, що якщо $f'({x_0}) = 0$, то х₀ необов’язково є точкою екстремуму.

     Наприклад: якщо $f(x) = {x^3}$, то $f'(x) = 3{x^2}$ і $f'(0) = 0$. Проте точка х=0 не є точкою екстремуму, оскільки функція $f(x) = {x^3}$ зростає на всій числовій осі.

     Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рівняння $f'(x) = 0$, але не завжди корінь рівняння $f'(x) = 0$ є точкою екстремуму.

    Внутрішні точки області визначення функції y=f(x), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними. Отже, для того щоб точка х₀ була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною.

     Сформулюємо достатні умови для того, щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції.

     Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч – від’ємна, тобто при переході через цю точку похідна змінює знак із «+» на «-», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму.

     Дійсно, у цьому разі ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч – спадає, отже, дана точка є точкою максимуму.

     Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від’ємна, а праворуч – додатна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак із «-» на «+», то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.

     Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знака, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від’ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.