Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Відомо, що функцію y=f(x) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, з умови х₂>х₁ випливає, що f(x₂)>f(x₁).

     Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична є паралельною осі ОХ).

     Виходячи з геометричного змісту похідної, $tg\;\alpha = f'({x_0})$. Це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова

$f'({x_0}) \ge 0$.

     Функцію y=f(x) називають спадною на проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, з умови х₂>х₁ випливає, що f(x₂)<f(x₁). Дотична в кожній точці графіка спадної функції, утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорівнює нулю, тому для функції f(x), яка спадає на деякому проміжку, виконується умова

$f'({x_0}) \le 0$.

     Одна й та сама функція може на одному проміжку області її визначення зростати, а на іншому – спадати. Характер поведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її похідної.

     Отже, наочне уявлення дозволяє сформулювати властивості зростаючих та спадних функцій.

     Якщо функція y=f(x) диференційована і зростає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку невід’ємна.

     Якщо функція y=f(x) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку недодатна.

     Проте для розв’язування задач особливо важливими є обернені твердження, які виражають ознаки зростання і спадання функції на проміжку. Нехай значення похідної функції y=f(x) додатні на деякому проміжку, тобто $f'(x) > 0$. Оскільки $tg\;\alpha = f'(x)$, то з умови tg α>0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напрямом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає.

     Якщо $f'(x) < 0$ на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної $tg\;\alpha = f'(x)$ до графіка функції y=f(x) від’ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ тупий кут і графік функції на даному проміжку «опускається», тобто функція f(x) спадає.

     Якщо $f'(x) > 0$ на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

     Якщо $f'(x) < 0$ на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

     Ці два твердження називають ознаками зростання (спадання) функції на проміжку.

     Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції.