СТЕПІНЬ ІЗ НАТУРАЛЬНИМ І ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ

1. Степінь із натуральним показником та його властивості

     Степенем числа а з натуральним показником n, більшим за одиницю, називають добуток n множників, кожний із яких дорівнює а:

{a^n} = \underbrace {a \cdot a \cdot ... \cdot a}_n,a \in R,n \in N,n \ge 2.

     Першим степенем числа називають саме число: {a^1} = a.

    Наприклад: {5^1} = 5,{( - 2)^3} = - 2 \cdot ( - 2) \cdot ( - 2) = - 8.

{3^4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81;{o^n} = 0,n \in N.

{1^n} = 1,n \in N.

     У записі {a^n} = b число а називається основою степеня, n – показником степеня, {a^n} - степенем, b – значенням степеня.

Властивості степенів

     1. При множенні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники степенів додаються:

{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}.

     2. При діленні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники віднімаються:

{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}} або \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}.

     3. При піднесенні степеня до степеня основа залишається такою самою, а показники перемножуються:

{({a^m})^n} = {a^{mn}}.

     4. При піднесенні до степеня добутку до цього степеня підноситься кожний множник:

{(ab)^n} = {a^n}{b^n}.

     5. При піднесенні до степеня дробу до цього степеня підносяться чисельник і знаменник:

{(\frac{a}{b})^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.

     Піднесення до степеня вважається арифметичною дією третього ступеня. Якщо вираз містить різні арифметичні дії, то спочатку виконується піднесення до степеня як дія вищого (третього) ступеня, потім множення і ділення (дії другого ступеня) і, нарешті, додавання і віднімання (дії першого ступеня).

    Наприклад: 5 \cdot {2^3} - 62:12 = 5 \cdot 8 - 36:12 = 40 - 3 = 37.