РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

7. Системи нерівностей з однією змінною

     Декілька нерівностей з однією змінною, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою нерівностей з однією змінною. Системою нерівностей позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

    Наприклад:

\left\{ \begin{array}{l}3x + 2 > 0,\\x - 3 < 2x,\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 < 0,\\x - 2 > {x^2}\end{array} \right. - системи нерівностей з однією змінною.

     Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, при якому кожна нерівність перетворюється на правильну числову.

    Наприклад: х=3 є розв’язком системи нерівностей

\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 5 > 0,\\2x - 2 > 3.\end{array} \right.

     Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

     Розв’язування системи нерівностей з однією змінною, як правило, зводиться до заміни даної системи рівносильною їй системою.

      Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною слід:

1) розв’язати кожну нерівність;

2) знайти спільні розв’язки даних нерівностей.

    Приклад 4. Розв’яжіть систему нерівностей

\left\{ \begin{array}{l}5x + 6 \le x,\\3x + 12 \le x + 17.\end{array} \right.

Розв’язання

     Маємо 

\left\{ \begin{array}{l}5x - x \le - 6,\\3x - x \le 17 - 12;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}4x \le - 6,\\2x \le 5;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x \le - 1,5,\\x \le 2,5.\end{array} \right.

     Зобразимо на координатній прямій множини розв’язків кожної з нерівностей.

     Обидві нерівності справедливі при х≤-1,5. Відповідь можна записати у вигляді нерівності х≤-1,5 або числового проміжку (-∞;-1,5].

     Відповідь: (-∞;-1,5].