ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ

1. Арифметична прогресія

     Арифметичною прогресією називають послідовність {a_1},{a_2},...{a_n},..., кожен член якої,починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d, яке називають різницею арифметичної прогресії:

{a_{n + 1}} = {a_n} + d,n \in N.

    Наприклад: 1, 2, 3, 4,…, n,… - арифметична прогресія, у якій {a_1} = 1, d=1; 2, 4, 6,…, 2n,… - арифметична прогресія, у якій {a_1} = 2, d=2.

     Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою

{a_n} = {a_1} + d(n - 1),

де n – номер члена, {a_n} - n-й член, {a_1} - перший член, d – різниця прогресії.

     Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:

{a_n} = \frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}.

     Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові {a_n} = \frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

     Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:

{S_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} \cdot n.

     Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою

{S_n} = \frac{{2{a_1} + d(n - 1)}}{2} \cdot n.