ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ

2. Геометрична прогресія

     Геометричною прогресією називають послідовність {b_1},{b_2},...,{b_n},..., кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q≠0, |q|≠1), яке називають знаменником геометричної прогресії:

{b_{n + 1}} = {b_n} \cdot q, де q \ne 0,|q| \ne 1,n \in N.

    Наприклад: 1, 3, 9,…, 3n-1,… - геометрична прогресія, у якій {b_1} = 1, q=3;

3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9}{,...3^{n - 2}},... - геометрична прогресія, у якій {b_1} = 3,q = \frac{1}{3}.

     Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою

{b_n} = {b_1} \cdot {q^{n - 1}},

де n – номер члена, {b_n} - n-й член, {b_1} - перший член, q – знаменник прогресії.

     Модуль кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів:

|{b_n}| = \sqrt {{b_{n - 1}} \cdot {b_{n + 1}}} .

     Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого задовольняють умові

|{b_n}| = \sqrt {{b_{n - 1}} \cdot {b_{n + 1}}} ,

то ця послідовність є геометричною прогресією.

     Суму перших n членів геометричної прогресії можна знайти і за формулою

{S_n} = {b_1} + {b_2} + ... + {b_n} = {b_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}.