Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Функція y=ctg x на проміжку $(0;\pi )$ спадає і набуває всіх значень із R, тому для будь якого а рівняння ctg x=a має єдиний розв’язок із проміжку $(0;\pi )$, який називають арккотангенсом числа а і позначають arсctg a.

     Арккотангенсом числа а називають таке число з проміжку $(0;\pi )$, котангенс якого дорівнює а.

    Приклад 1. arсctg ${\sqrt 3 }$= $\frac{\pi }{6}$, бо $ctg\frac{\pi }{6} = \sqrt 3$ і $\frac{\pi }{6} \in (0;\pi)$.

    Приклад 2.  arсctg $-{\sqrt 3 }$= $\frac{5\pi }{6}$, бо $ctg\frac{5\pi }{6} = - \sqrt 3$ і $\frac{5\pi }{6} \in (0;\pi$.

     Графік функції y=arcсtg x одержимо із графіка функції y=сtg x, $x \in (0;\pi )$, перетворенням симетрії відносно прямої у=х.

     Основні властивості функції y=arcсtg x:

1. D(y)=R.

2. Е(у)= $(0;\pi )$.

3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY: arcctg (-x)=π-arcctg x.

4. Функція спадна. Якщо х₁<х₂, то arсctg x₁>arсctg x₂.

5. х=0, якщо у= $\frac{\pi }{2}$.

6. у>0 для всіх $x \in R$.

    Зауваження

     При знаходженні області визначення треба пам’ятати якщо функція має вигляд y=ctg (f(x)), то слід вважати $f(x) \ne \pi n.n \in Z$ (котангенс чисел $\pi n.n \in Z$, не визначений).

    Наприклад: якщо $y = ctg(2x - \frac{\pi }{4})$, то $2x - \frac{\pi }{4} \ne \pi n,n \in Z$, тобто $x \ne \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi n}}{2},n \in Z$.