Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь

$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[4]{{x + y}} - \sqrt[4]{{x - y}} = 2,\\\sqrt {x + y} - \sqrt {x - y} = 8.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Уведемо нові змінні: $\sqrt[4]{{x + y}} = a,\;\sqrt[4]{{x - y}} = b$.

     Ця система набуває вигляду

$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2,\\a2 - b2 = 8;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2,\\(a - b)(a + b) = 8;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2,\\2(a + b) = 8;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2,\\a + b = 4;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}2a = 6,\\2b = 2;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}a = 3,\\b = 1.\end{array} \right.$

     Повертаючись до цих змінних, отримаємо:

$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[4]{{x + y}} = 3,\\\sqrt[4]{{x - y}} = 1;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}{(\sqrt[4]{{x + y}})^4} = {3^4},\\{(\sqrt[4]{{x - y}})^4} = {1^4};\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}x + y = 81,\\x - y = 1;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}2x = 82;\\2y = 80;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}x = 41;\\y = 40.\end{array} \right.$

     Перевірка:

$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[4]{{41 + 40}} - \sqrt[4]{{41 - 40}} = 3 - 1 = 2,\\\sqrt {41 + 40} - \sqrt {41 - 40} = 9 - 1 = 8.\end{array} \right.$

     Відповідь: (41;40).