Логарифми. Логарифмічна функція. Логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи

Логарифмічна функція

     Функцію виду y = {\log _a}x, де a > 0,\;a \ne 1, називають логарифмічною.

     Основні властивості логарифмічної функції

  1. Область визначення – (0;+∞).
  2. Область значень – множина всіх дійсних чисел R.
  3. Якщо х=1, то у=0.
  4. Функція y = {\log _a}x не є ні парною, ні непарною.
  5. Якщо а>1, функція y = {\log _a}x зростає, а при 0<а<1 – спадає.
  6. Якщо а>1 і х>1, то y = {\log _a}x > 0. Якщо а>1 і 0<х<1, то y = {\log _a}x < 0. Якщо 0<а<1 і х>1, то y = {\log _a}x < 0. Якщо 0<а<1 і 0<х<1, то y = {\log _a}x > 0.
  7. Графік функції y = {\log _a}x:

     При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1)               Якщо функція має вигляд y = {\log _a}(f(x)),a > 1,a \ne 1, то слід вважати f(x)>0 (під знаком логарифма може стояти тільки додатний вираз).

     Наприклад: якщо y = \lg ({x^2} - 5x + 6), то {x^2} - 5x + 6 > 0, тобто D(y) = ( - \infty ;2) \cup (3; + \infty ).

2)               Якщо функція має вигляд y = {\log _{f(x)}}b,b > 0, то слід вважати

\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0,\\f(x) \ne 1\end{array} \right.

 (основа логарифма може бути тільки додатною і відмінною від одиниці).

     Наприклад: якщо y = {\log _{x - 1}}10, то 

\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0,\\x - 1 \ne 1,\end{array} \right.

тобто D(y) = (1;2) \cup (2; + \infty ).