Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     Логарифмічними називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

     Приклад 1. Логарифмічні рівняння: 

$\lg x = 1 + {\lg ^2}x,\;{\log _2}(x + 3) = 9,\;\sqrt {\lg x} = \lg \sqrt x$.

     Розв’язати логарифмічне рівняння – це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

     Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд ${\log _a}x = b$, де $a > 0,a \ne 1,x > 0$. З означення логарифма випливає, що $x = {a^b}$.

     Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння:

${\log _a}x = {\log _a}b$, де $a > 0,a \ne 1,x > 0,b > 0$.

     Із цього рівняння випливає, що х=b. Дійсно із рівності  на підставі означення логарифма і логарифмічної тотожності маємо

$x = {a^{{{\log }_a}b}} = b$.

     Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння

${\log _a}x = b$, де $x > 0,x \ne 1,a > 0$.

      За означенням логарифма маємо

${x^b} = a$, звідси $x = {a^{\frac{1}{2}}}$.

     В основному, усі логарифмічні рівняння зводяться до розв’язування найпростіших рівнянь.

     Зазначимо, що в прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не призводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного з одержаних коренів обов’язкова, якщо немає впевненості у рівносильності рівнянь.

Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебрагічного.

2. Метод потенціювання.

3. Метод зведення логарифмів до однієї основи.

4. Метод логарифмування.

5. Графічний метод розв’язування логарифмічних рівнянь.